Ecuaciones de Cauchy Riemann

Relación entre diferenciabilidad y derivabilidad en sentido complejo

En el apartado anterior vimos la definición de derivada en sentido complejo. ¿Cuál es la relación entre esta noción y la noción de diferenciabilidad en el plano? Esto es precisamente lo que te explicaré a continuación.

https://youtu.be/BRPqPG_t7YY

Para empezar, tendremos que demostrar un par de proposiciones:

Cuestiones previas a las ecuaciones

Proposición: Si $f:\Omega\to\mathbb{C}$ admite derivada en sentido complejo en $z_0=x_0 + i y_0$, entonces $\tilde f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ es diferenciable como función del plano real en $z_0 = (x_0,y_0)$.

Demostración:

Si $f$ admite derivada en sentido complejo, entonces sabemos que:

$$\begin{equation} f'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\end{equation}$$

existe. Concretamente, existe $\alpha = a + b i\in \mathbb{C}$ tal que $f'(z_0) = \alpha$ y entonces

$$\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) – \alpha \cdot (z-z_0)}{z-z_0}\ .\end{equation}$$

Ahora bien, como vimos en cuando estudiábamos funciones reales en $\mathbb{C}$ y en $\mathbb{R}^2$, esto quiere decir que podemos entender la multiplicación por $\alpha$ como una cierta aplicación $\mathbb{C}$–lineal. Entonces, existirá una aplicación $\mathbb{R}$– lineal asociada a $\alpha$, que denotamos por $T$:

$$\begin{equation} \lim_{z\to z_0 } \frac{{f}(z_0)-{f}(z_0) – T|_{z_0} (z-z_0)}{||z-z_0||}\ \end{equation}$$

que me indica que ${f}$ es diferenciable en $x_0$. Como vimos, la forma de $T$ será:

$$\begin{equation} T = \left(\begin{array}{cc} a&-b\\ b& a \end{array}\right)\end{equation}$$

De hecho, fijémonos que $T$ es la diferencial de $f$ en $z_0$ ▢

Ahora hemos visto que derivable en sentido complejo es también derivable como función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$. Miremos a ver cuándo el recíproco es cierto:

Proposición. Sea ${f}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ una función diferenciable en $z_0 = (x_0,x_0)$. Si la diferencial de ${f}$ en $z_0 = (x_0,y_0)$, que denotamos por $\text{d} f_{z_0}$ es una función $\mathbb{C}$– lineal, entonces $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es diferenciable en sentido complejo.

Demostración. Efectivamente, si la diferencial (que es lo que anteriormente veníamos denotando por $T$) es $\mathbb{C}$–lineal, entonces

$$\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) – T(z-z_0)}{||z-z_0||} = 0\end{equation}$$

Como $T$ es $\mathbb{C}$–lineal, tendremos que existe un número complejo $\alpha\in\mathbb{C}$ tal que

$$\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) – \alpha \cdot (z-z_0)}{|z-z_0|} = 0\end{equation}$$

y por lo tanto llegamos a que $f$ es derivable en $z_0$ en sentido complejo:

\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) }{(z-z_0)} = \alpha\end {equation}

▢

Las ecuaciones de Cauchy Riemann

De las dos proposiciones anteriores, se llega a un punto crucial de la teoría de las funciones de variable compleja:

Proposición. Consideremos

$$\begin{equation} \begin{array}{rccc} f:&\mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ &z = x+i\ y& \mapsto & u(x,y) + i u(x,y) \end{array} \end{equation}$$
Sea $z_0 = x_0+i y_0 = (x_0,y_0)\in\mathbb{C}$ un punto del plano complejo. Entonces, $f$ es diferenciable en sentido complejo en $z_0$ si, y sólo si, $f$ es diferenciable en $(x_0,y_0)$ como función de $\mathbb{R}^2$ y su diferencial en dicho punto $\text{d} \tilde f_{z_0}$ es una función $\mathbb{C}$–lineal. En particular,
$$\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad ,\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = – \frac{\partial v}{\partial x} \end{equation}$$

que son las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Operadores $\partial_z$ y $\partial_{\overline{z}}$

Ahora que ya tenemos bastante dominio de las derivadas en sentido complejo, vamos a definir dos operadores diferenciales (tómatelo como simbolitos) que nos ayudaran a simplificar nuestra notación:

https://youtu.be/bHCllxC7K_k

La relación entre las variables $x$ e $y$ y las variables $z$ y $\overline z$

$$\begin{equation} \label{eq:relation_z_zc} \begin{array}{l} z=x+ iy \\ \overline{z} = x – iy \end{array}\qquad \Rightarrow \qquad \begin{array}{l} \displaystyle x = \frac{z+\overline{z}}{2} \\ \displaystyle y = \frac{z-\overline{z}}{2i} \end{array} \end{equation}$$
se pueden pensar como un cambio de coordenadas:
$$\begin{equation} f(x,y)\qquad \mapsto\qquad f(z,\overline{z}) \end{equation}$$
De esta forma, podemos encontrar las derivadas parciales respecto $z$ y $\overline{z}$ de la siguiente forma:
$$\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial z} &=& \frac{\partial x}{\partial z}\ \frac{\partial }{\partial x}\ + \ \frac{\partial y }{\partial z} \frac{\partial}{\partial y} \nonumber \ &=& \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x} \ + \frac{1}{2i}\cdot \frac{\partial}{\partial y} \end{eqnarray}$$
De la misma forma podemos obtener
$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x} \ – \frac{1}{2i}\cdot \frac{\partial}{\partial y} \end{equation}$$
Una observación importante es que, si aplicamos $\partial/{\partial \overline{z}}$ a una función de variable compleja $f(z,\overline{z}) = u(x,y) + i v(x,y)$, obtenemos
$$\begin{equation}\label{eq:partialzc} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) \end{equation}$$
La expresión que acabamos de escribir es cero si, y sólo si, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (para darse cuenta de ello sólo hay que igualar a cero las parte real e imaginaria de la expresión anterior. En conclusión, las condiciones de Cauchy-Riemann en las variables $z$ y $\overline{z}$ son simplemente:
$$\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0 \end{equation}$$
Lo que esta ecuación nos está diciendo es que las funciones holomorfas son aquellas que dependen únicamente de $z$ cuando las ponemos en estas nuevas variables, y no de su conjugado.

Por otro lado, como no podía ser de otra manera, cuando $f$ es derivable en sentido complejo en un punto $z=z_0$ se cumple:

$$\begin{equation} f'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \left.\frac{\partial f}{\partial z} \right|_{z=z_0} \end{equation}$$
Esto se puede comprobar, por ejemplo, tomando los límites iterados en la definición de derivada en sentido complejo:
$$\begin{eqnarray} f'(z_0) &=& \lim_{y\to y_0} \frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{i (y-y_0)} = \frac{\partial v}{\partial y} – i \frac{\partial u}{\partial y} \nonumber\\[2mm] f'(z_0) &=& \lim_{x\to x_0} \frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{(x-x_0)} = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \nonumber \end{eqnarray}$$
y ahora, al sumar las dos contribuciones y aislar $f'(z_0)$, se obtiene:
$$\begin{equation} f'(z_0) = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial{u}}{\partial x} + \frac{1}{i} \frac{\partial u}{\partial y}\right) + \frac{1}{2}\ i\ \left(\frac{\partial{v}}{\partial x} + \frac{1}{i} \frac{\partial v}{\partial y}\right)= \frac{\partial f}{\partial z} \end{equation}$$

Ecuaciones de Cauchy Riemann en coordenadas polares

Hasta ahora hemos visto y trabajado con las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas cartesianas. De la misma manera, si consideráramos el plano complejo en coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendrían la siguiente expresión, como te demuestro en el vídeo 😉

$$\begin{equation}\partial_r u\ =\ \frac{1}{r}\partial_\theta v\ ,\qquad \partial_r v \ =\ -\frac{1}{r}\partial_\theta u \end{equation}$$

https://youtu.be/JJQrPcb2ofA

Funciones holomorfas y funciones armónicas

Existe una relación interesante entre las funciones holomorfas y las funciones armónicas (recuerda que las funciones armónicas son aquéllas cuyo laplaciano se anula). Imagina que tienes una función $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ que es holomorfa y tal que $u$ y $v$ admiten derivadas segundas. Esto no es una hipótesis muy restrictiva porque, como veremos más adelante, si $f$ es holomorfa es automáticamente $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{C}))$). Si derivamos dos veces las ecuaciones de Cauchy-Riemann obtenemos que

$$\begin{equation}\begin{array}{l} \displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2} =\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}\\ \displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial y^2} =-\frac{\partial^2u}{\partial x \partial y}\\ \end{array} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad \Rightarrow\qquad \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = \Delta u = 0 \end{equation}$$
y también
$$\begin{equation}\begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2v}{\partial y^2} \\ \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = -\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\ \end{array} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad \Rightarrow\qquad \frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} = \Delta v = 0 \end{equation}$$

https://youtu.be/pURiaTtOF-Y

La conclusión de todo esto es que las partes real e imaginaria de las funciones holomorfas son funciones armónicas (su laplaciano es cero, $\Delta u = \Delta v = 0$).

¿Te está encantando la variable compleja, verdad? ¡y con apuntes en pdf y todo! Pues prepárate porque todavía no conoces todo su potencial. El siguiente paso que tienes que descubrir es cuándo y cómo podemos escribir funciones de variable compleja en forma de serie de potencias.

Y ahora…

O bien…
👉 ejercicios de funciones de variable compleja.