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Relación entre diferenciabilidad y derivabilidad en sentido complejo
En el apartado anterior vimos la definición de derivada en sentido complejo. ¿Cuál es la relación entre esta noción y la noción de diferenciabilidad en el plano? Esto es precisamente lo que te explicaré a continuación.
Para empezar, tendremos que demostrar un par de proposiciones:
Cuestiones previas a las ecuaciones
Proposición: Si \(f:\Omega\to\mathbb{C}\) admite derivada en sentido complejo en \(z_0=x_0 + i y_0\), entonces \(\tilde f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) es diferenciable como función del plano real en \(z_0 = (x_0,y_0)\).
Demostración:
Si \(f\) admite derivada en sentido complejo, entonces sabemos que:
\begin{equation} f'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\end{equation}
existe. Concretamente, existe \(\alpha = a + b i\in \mathbb{C}\) tal que \(f'(z_0) = \alpha\) y entonces
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) – \alpha \cdot (z-z_0)}{z-z_0}\ .\end{equation}
Ahora bien, como vimos en cuando estudiábamos funciones reales en \(\mathbb{C}\) y en \(\mathbb{R}^2\), esto quiere decir que podemos entender la multiplicación por \(\alpha \) como una cierta aplicación \(\mathbb{C}\)–lineal. Entonces, existirá una aplicación \(\mathbb{R}\)– lineal asociada a \(\alpha\), que denotamos por \(T\):
\begin{equation} \lim_{z\to z_0 } \frac{{f}(z_0)-{f}(z_0) – T|_{z_0} (z-z_0)}{||z-z_0||}\ \end{equation}
que me indica que \({f}\) es diferenciable en \(x_0\). Como vimos, la forma de \(T\) será:
\begin{equation} T = \left(\begin{array}{cc}
a&-b\\ b& a
\end{array}\right)\end{equation}
De hecho, fijémonos que \(T\) es la diferencial de \(f\) en \(z_0\) ▢
Ahora hemos visto que derivable en sentido complejo es también derivable como función de \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}^2\). Miremos a ver cuándo el recíproco es cierto:
Proposición. Sea \({f}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) una función diferenciable en \(z_0 = (x_0,x_0)\). Si la diferencial de \({f}\) en \(z_0 = (x_0,y_0)\), que denotamos por \(\text{d} f_{z_0}\) es una función \(\mathbb{C}\)– lineal, entonces \(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \) es diferenciable en sentido complejo.
Demostración. Efectivamente, si la diferencial (que es lo que anteriormente veníamos denotando por \(T\)) es \(\mathbb{C}\)–lineal, entonces
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) – T(z-z_0)}{||z-z_0||} = 0\end{equation}
Como \(T\) es \(\mathbb{C}\)–lineal, tendremos que existe un número complejo \(\alpha\in\mathbb{C}\) tal que
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) – \alpha \cdot (z-z_0)}{|z-z_0|} = 0\end{equation}
y por lo tanto llegamos a que \(f\) es derivable en \(z_0\) en sentido complejo:
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) }{(z-z_0)} = \alpha\end {equation}
▢
Las ecuaciones de Cauchy Riemann
De las dos proposiciones anteriores, se llega a un punto crucial de la teoría de las funciones de variable compleja:
Proposición. Consideremos
\begin{equation}
\begin{array}{rccc}
f:&\mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ &z = x+i\ y& \mapsto & u(x,y) + i u(x,y)
\end{array}
\end{equation}
Sea \(z_0 = x_0+i y_0 = (x_0,y_0)\in\mathbb{C}\) un punto del plano complejo. Entonces, \(f\) es diferenciable en sentido complejo en \(z_0\) si, y sólo si, \(f\) es diferenciable en \((x_0,y_0)\) como función de \(\mathbb{R}^2\) y su diferencial en dicho punto \(\text{d} \tilde f_{z_0}\) es una función \(\mathbb{C}\)–lineal. En particular,
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad ,\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = – \frac{\partial v}{\partial x}
\end{equation}
que son las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Operadores \(\partial_z\) y \(\partial_{\overline{z}}\)
Ahora que ya tenemos bastante dominio de las derivadas en sentido complejo, vamos a definir dos operadores diferenciales (tómatelo como simbolitos) que nos ayudaran a simplificar nuestra notación:
La relación entre las variables \(x\) e \( y\) y las variables \(z\) y \(\overline z\)
\begin{equation} \label{eq:relation_z_zc}
\begin{array}{l}
z=x+ iy \\ \overline{z} = x – iy
\end{array}\qquad \Rightarrow \qquad \begin{array}{l}
\displaystyle x = \frac{z+\overline{z}}{2} \\
\displaystyle y = \frac{z-\overline{z}}{2i}
\end{array}
\end{equation}
se pueden pensar como un cambio de coordenadas:
\begin{equation}
f(x,y)\qquad \mapsto\qquad f(z,\overline{z})
\end{equation}
De esta forma, podemos encontrar las derivadas parciales respecto \(z\) y \(\overline{z}\) de la siguiente forma:
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial z} &=& \frac{\partial x}{\partial z}\ \frac{\partial }{\partial x}\ + \ \frac{\partial y }{\partial z} \frac{\partial}{\partial y} \nonumber \
&=& \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x} \ + \frac{1}{2i}\cdot \frac{\partial}{\partial y}
\end{eqnarray}
De la misma forma podemos obtener
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x} \ – \frac{1}{2i}\cdot \frac{\partial}{\partial y}
\end{equation}
Una observación importante es que, si aplicamos \(\partial/{\partial \overline{z}}\) a una función de variable compleja \(f(z,\overline{z}) = u(x,y) + i v(x,y)\), obtenemos
\begin{equation}\label{eq:partialzc}
\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} \right)
\end{equation}
La expresión que acabamos de escribir es cero si, y sólo si, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (para darse cuenta de ello sólo hay que igualar a cero las parte real e imaginaria de la expresión anterior. En conclusión, las condiciones de Cauchy-Riemann en las variables \(z\) y \(\overline{z}\) son simplemente:
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0
\end{equation}
Lo que esta ecuación nos está diciendo es que las funciones holomorfas son aquellas que dependen únicamente de \(z\) cuando las ponemos en estas nuevas variables, y no de su conjugado.
Por otro lado, como no podía ser de otra manera, cuando \(f\) es derivable en sentido complejo en un punto \(z=z_0\) se cumple:
\begin{equation}
f'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \left.\frac{\partial f}{\partial z} \right|_{z=z_0}
\end{equation}
Esto se puede comprobar, por ejemplo, tomando los límites iterados en la definición de derivada en sentido complejo:
\begin{eqnarray}
f'(z_0) &=& \lim_{y\to y_0} \frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{i (y-y_0)} = \frac{\partial v}{\partial y} – i \frac{\partial u}{\partial y} \nonumber\\[2mm]
f'(z_0) &=& \lim_{x\to x_0} \frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{(x-x_0)} = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \nonumber
\end{eqnarray}
y ahora, al sumar las dos contribuciones y aislar \(f'(z_0)\), se obtiene:
\begin{equation}
f'(z_0) = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial{u}}{\partial x} + \frac{1}{i} \frac{\partial u}{\partial y}\right) + \frac{1}{2}\ i\ \left(\frac{\partial{v}}{\partial x} + \frac{1}{i} \frac{\partial v}{\partial y}\right)=
\frac{\partial f}{\partial z}
\end{equation}
Ecuaciones de Cauchy Riemann en coordenadas polares
Hasta ahora hemos visto y trabajado con las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas cartesianas. De la misma manera, si consideráramos el plano complejo en coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendrían la siguiente expresión, como te demuestro en el vídeo 😉
\begin{equation}\partial_r u\ =\ \frac{1}{r}\partial_\theta v\ ,\qquad \partial_r v \ =\ -\frac{1}{r}\partial_\theta u \end{equation}
Funciones holomorfas y funciones armónicas
Existe una relación interesante entre las funciones holomorfas y las funciones armónicas (recuerda que las funciones armónicas son aquéllas cuyo laplaciano se anula). Imagina que tienes una función \(f(z) = u(x,y) + i v(x,y)\) que es holomorfa y tal que \(u\) y \(v\) admiten derivadas segundas. Esto no es una hipótesis muy restrictiva porque, como veremos más adelante, si \(f\) es holomorfa es automáticamente \(\mathcal{C}^\infty(\mathbb{C}))\)). Si derivamos dos veces las ecuaciones de Cauchy-Riemann obtenemos que
\begin{equation}\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2} =\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}\\
\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial y^2} =-\frac{\partial^2u}{\partial x \partial y}\\
\end{array} \end{equation} \begin{equation} \qquad \Rightarrow\qquad \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = \Delta u = 0
\end{equation}
y también
\begin{equation}\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2v}{\partial y^2} \\
\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = -\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\ \end{array} \end{equation} \begin{equation} \qquad \Rightarrow\qquad \frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} = \Delta v = 0
\end{equation}
La conclusión de todo esto es que las partes real e imaginaria de las funciones holomorfas son funciones armónicas (su laplaciano es cero, \(\Delta u = \Delta v = 0\)).
¿Te está encantando la variable compleja, verdad? ¡y con apuntes en pdf y todo! Pues prepárate porque todavía no conoces todo su potencial. El siguiente paso que tienes que descubrir es cuándo y cómo podemos escribir funciones de variable compleja en forma de serie de potencias.
Y ahora…