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Variable compleja

¿Qué es una variable compleja?

Las funciones a las que estamos acostumbrados normalmente tienen variable real, es decir, están definidas en el conjunto de los número reales. Así, las funciones de variable compleja, son funciones definidas en el plano complejo.

\begin{equation} \begin{array}{rcl}
f:\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ z = x+i\ y& \mapsto & f(z) = u(x,y) + i u(x,y)
\end{array}\end{equation}

La teoría de funciones de variable compleja es muy potente, y de lugar a múltiples teoremas que son usados en otras ramas de las matemáticas, así como en física y en ingeniería, Muchas personas se atascan con esta asignatura; desde MathsUP te proporciono todo lo que necesitas para pasar sobradamente este apasionante curso.

En esta página, encontrarás mis apuntes de variable compleja, que también te puedes descargar en pdf. Cada apartado del tema te llevará a una página dónde se explica en detalle. También, puedes visitar esta otra página, si lo que te interesan son ejercicios resueltos de variable compleja.

Funciones de variable compleja

Básicamente, las funciones de variable compleja serán funciones que irán del cuerpo de los complejos (o de un subconjunto de éste, que habitualmente llamaremos \(\Omega\subset\mathbb{C}\)) al cuerpo de los complejos; es decir funciones de la forma

\begin{equation} \begin{array}{rcl}
f:\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ z = x+i\ y& \mapsto & f(z) = u(x,y) + i u(x,y)
\end{array}\end{equation}

La esfera de Riemann

En este curso de variable compleja, nos interesará bastante entender cuál es la topología del plano complejo. Es decir, qué forma tiene. Como verás, podemos entender el plano complejo como una esfera, la esfera de Riemann. En concreto, la esfera de Riemann no es nada más que el plano complejo más el punto del infinito. Aquí tienes los detalles.

Proyección estereográfica

Funciones holomorfas de variable compleja

Ahora vamos a sumergirmos de lleno en lo que nos interesa: las funciones holomorfas de variable compleja. La clave es entender que las funciones holomorfas son esencialmente “funciones derivables en \(\mathbb{C}\)” (ya veremos en qué sentido), y que tienen nombre propio porque son súperguays y tienen propiedades que flipan a los matemáticos y nos acabarán flipando a tod@s.

Ecuaciones de Cauchy Riemann

Si ya has entendido qué es una función holomorfa, entenderás que tiene sentido preguntarse ahora cuál es la relación entre diferenciabilidad como función de dos variables reales y derivabilidad en sentido complejo. Es lo que veremos en este apartado, en el que encontraremos las famosas ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son las siguientes:

\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad ,\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = – \frac{\partial v}{\partial x}
\end{equation}

¿Analítica u holomorfa?

¿Cuál es la relación entre la analiticidad y la holomorficidad (tal vez me acabo de inventar estar palabras jeje) de una función?

Aquí lo veremos. Pero para ello, en este apartado también repasamos las series de potencias en variable compleja, que no son más que sumas infinitas de números complejos.

Singularidades de una función compleja

Cuando estudiamos funciones de variable compleja, algo muy importante que debemos entender es el concepto de singularidad de una función. Así que vamos a ello. En funciones de variable compleja, básicamente tenemos dos tipos tipos de singularidades:

👉 Cortes de ramificación. Las encontrarás en funciones multivaluadas como el logaritmo complejo o las raíces. Los cortes de ramificación empiezan y acaban en puntos singulares que denominaremos puntos de ramificación. El punto del infinito también puede ser un punto de ramificación.

👉 Singularidades aisaladas. Son aquellas que se dan en un único punto. Se pueden dividir en tres tipos, que estudiamos detalladamente en este apartado, y son las singularidades evitables, los polos y las singularidades esenciales.