¡Bienvenid@! Aquí tienes el curso complejo de análisis complejo de MathsUP. En primer lugar, puedes descargarte los apuntes del curso de variable compleja en pdf a través del siguiente botón:
Aparte de seguir estos apuntes, los dejo aquí. Como verás, los estoy completando, así que te agradeceré infinito todas tus sugerencias. Para ello puedes escribirme.
Como sabrás, el estilo de MathsUP se apoya en los vídeos de mi canal de YouTube, que te voy dejando aquí. Y sin más dilación, ¡empezamos!
Aquí encontrarás...
Introducción al Curso de Variable Compleja
Una vez hemos descubierto el apasionante mundo de los número complejos, fascinados por todo lo que sabemos, nos atrevemos a adentrarnos en el inexplorado mundo de las funciones de variable compleja. Sí, ese mundo al que sólo unos pocos valientes se atreven a acercarse. Empecemos diciendo de qué estamos hablando.
Básicamente, las funciones de variable compleja serán funciones que irán del cuerpo de los complejos (o de un subconjunto de éste, que habitualmente llamaremos \(\Omega\subset\mathbb{C}\)) al cuerpo de los complejos; es decir funciones de la forma
\begin{equation} \begin{array}{rcl}
f:\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ z = x+i\ y& \mapsto & f(z) = u(x,y) + i u(x,y)
\end{array}\end{equation}
Como vemos, debido a que la función está definida de \(\mathbb{C}\) a \(\mathbb{C}\), tanto la variable \(z\) como su imagen por \(f\) (i.e. \(f(z)\)) se descomponen en parte real y parte imaginaria. Esto permite identificar \(f\) con una función \(\tilde f\) que va de \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^2\).
\begin{equation} \begin{array}{rcl}
f: \mathbb{C}& \rightarrow & \mathbb{C} \\
\varphi\left\uparrow\rule{0cm}{.4cm}\right. & & \left\downarrow\rule{0cm}{.4cm}\right.\varphi^{-1}\\
\tilde f:\mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ (x,y) & \mapsto & \left(u(x,y), v(x,y)\right)
\end{array}\end{equation}
De hecho, tanto es así, que habitualmente omitiremos la \(\sim\) para la función de variable real y pensaremos \(f\) definida en \(\mathbb{C}\) o \(\mathbb{R}^2\) indistintamente. Con ello simplificaremos mucho la notación, ya que escribiremos felizmente
\begin{equation} f(z_0) = f(x_0,y_0) = u(z_0) + i v(z_0) \\ = \left(u(x_0,y_0), v(x_0,y_0)\right)=\cdots \end{equation}
Supongo que se entiende la idea que hay detrás de esto. Este pequeño abuso de notación lo podemos hacer gracias a la ecuación de más arriba. Lo mismo haremos con cualquier punto \(z_0\in \mathbb{C}\), que escribiremos indistintamente como \(z_0 = x_0 + i y_0 = (x_0,y_0)\) en función de si lo estamos pensando como un elemento de \(\mathbb{C}\) o mediante su expresión en coordenadas de \(\mathbb{R}^2\).
De esta manera, las funciones de variable compleja heredan las nociones y propiedades de funciones de \(\mathbb{R}^2\), como por ejemplo la suma de funciones y su continuidad. Ahora bien, mientras que en \(\mathbb{R}^2\) no existe el producto, en \(\mathbb{C}\) sí, por lo que tiene sentido definir el producto de dos funciones: Dadas \(f_1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) y \(f_2 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}\), el producto de dichas funciones será, simplemente, una nueva función definida por:
\begin{equation}\begin{array}{rcl}
(f_1\cdot f_2):\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ z& \mapsto & (f_1\cdot f_2)(z) = f_1(z)\cdot f_2(z)
\end{array} \begin{equation}
Se puede demostrar fácilmente que si \(f_1\) y \(f_2\) son continuas en un punto \(z_0\in \mathbb{C}\), entonces \(f_1\cdot f_2\) también lo será.
El plano complejo y el punto del infinito
Como \(\mathbb{R}^2\) no es un compacto, \(\mathbb{C}\) tampoco lo será. Pero como te enseñaré en esta sección, lo que le falta a \(\mathbb{C}\) (y de hecho a \(\mathbb{R}^2\)) para ser un compacto es simplemente un punto, que es el punto del infinito y denotamos por \(\infty\).
Para convencernos de esto, hacemos el proceso llamado proyección estereofráfica, que está dibujado en la siguiente Figura:
La cosa es que definimos una función entre la esfera
\begin{equation}
\text{S}^2= \left\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 : a^2 +b^2+(c-1)^2 =1 \right\}
\end{equation}
y el plano complejo, que es la siguiente
\begin{equation} \displaystyle \begin{array}{rccl}
\chi :& \text{S}^2\setminus {(0,0,1)}&\longrightarrow & \mathbb{C} \\
&(a,b,c) & \mapsto & \frac{a}{2-c} +i\ \frac{b}{2-c}
\end{array} \end{equation}
Esta función es biyeciva entre S\(^2\setminus {(0,0,1)}\) y \(\mathbb{C}^2\). Esto nos dice que lo que le falta a \(\mathbb{C}^2\) para ser un compacto es un punto. En particular, añadiendo el punto del infinito, \(\overline{\mathbb{C}} :=\mathbb{C} \cup{\infty}\), podemos “completar” la función anterior para tener una biyección con la esfera.
\begin{equation} \begin{array}{rccl}
\overline \chi :& \text{S}^2&\longrightarrow & \overline{\mathbb{C}}\\
&(a,b,c) & \mapsto & \frac{a}{2-c} +i\ \frac{b}{2-c}\\
&(0,0,1) & \mapsto & \infty
\end{array} \end{equation}
Los entornos abiertos de \(\infty\) vienen entonces definidos por la imagen por \(\overline\chi\) de los entornos abiertos de \((0,0,1)\) en S\(^2\), esto se representa gráficamente en la Figura de abajo. Por ello, podemos hablar de “entornos del \(\infty\)”, que serían los puntos \(z\in \mathbb{C}\) tales que \(|z|>R\in \mathbb{R}\), donde habitualmente pensamos \(R\) como un número real grande. También nos permite “tomar el límite de \(z\) iendo hacia \(\infty\)”.
\begin{equation} \lim_{z\to\infty} f(z) = \omega \iff \forall \epsilon > 0 , \ \exists R > 0\\ \text{ tal que } |z| > R\ \Rightarrow\ |f(z)-\omega| < \epsilon \end{equation}
o decir que una función tiende a infinito en un punto:
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} f(z) = \infty \iff \forall R > 0 , \ \exists \delta > 0\\ \text{ tal que } |z-z_0| < \delta\ \Rightarrow\ |f(z)| > R \end{equation}
Para l@s experto@s, la construcción que acabamos de hacer es la compactificación de Alexandroff del plano (complejo).
Funciones Holomorfas
Ahora que nos hemos familiarizado un poco con el plano complejo y con funciones definidas en él, vamos a sumergirmos de lleno en lo que nos interesa: las funciones holomorfas. La clave es entender que las funciones holomorfas son esencialmente “funciones derivables en \(\mathbb{C}\)” (ya veremos en qué sentido), y que tienen nombre propio porque son súperguays y tienen propiedades que flipan a los matemáticos y nos acabarán flipando a tod@s.
Pero antes, para calentar los motores, estudiamos aplicaciones lineales en el plano complejo (nos servirá más adelante).
Aplicaciones lineales en \(\mathbb{C}\)
Entender las aplicaciones lineales en \(\mathbb{C}\) nos servirá para definir la derivada en funciones de variable compleja. Recordemos en primer lugar que \(\mathbb{C}\) lo podemos ver tanto como un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\) de dimensión 2 (es isomorfo a \(\mathbb{R}^2\)), pero también lo podemos pensar como un espacio vectorial de dimensión 1 sobre \(\mathbb{C}\). Teniendo esto en mente, distinguiremos entre:
👉 Aplicaciones \(\mathbb{R}\)-lineales. Diremos que una aplicación \(T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) es \(\mathbb{R}\)-lineal si es lineal entendiendo \(\mathbb{C}\) como un \(\mathbb{R}\)–espacio vectorial de dimensión 2. En particular,
\begin{equation}\begin{aligned}
T(z+\omega) &= T(z)+T(\omega) \\ T(\lambda z) &= \lambda T(z)
\end{aligned} \\ \forall z,\omega \in \mathbb{C}\quad;\quad\lambda\in \mathbb{R}\ . \end{equation}
Como a estas alturas sabemos un montón de álgebra lineal, podemos afirmar que existirá una matriz que me permitirá escribir \(T(z)\) como
\begin{equation} \begin{aligned}
T(z) &= \left(\begin{array}{ccc}
a&b\\c&d
\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
x \\ y
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}
a\ x + b\\ y\ c\ x+d\ y
\end{array}\right)=\\ &= (a\ x + b\ y) + (c\ x+d\ y) \cdot i = \\
&= \alpha z + \beta \overline z \end{aligned} \end{equation}
donde \(z=x+iy \in\mathbb{C}\), \(a,c,b,d\in \mathbb{R}\) y \(\alpha,\beta\in \mathbb{C}\). La última igualdad, a la que se llega teniendo en cuenta que las partes real (\(x\)) y la parte imaginaria (\(y\)) se pueden expresar en función de \(z\) y de su conjugado (\(\overline z\)), nos indica que \(T\) depende, en principio, tanto de \(z\) como de su conjugado.
👉 Aplicaciones \(\mathbb{C}\)-lineales. De manera análoga, diremos que una aplicación \(T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) es \(\mathbb{C}\)-lineal si es lineal entendiendo \(\mathbb{C}\) como un \(\mathbb{C}\)-espacio vectorial de dimensión 1. En particular,
\begin{equation}
\begin{aligned}
T(z+\omega) &= T(z)+T(\omega) \\
T(\alpha z) &= \alpha T(z)
\end{aligned}\end{equation}
\begin{equation} \forall z,\omega \in \mathbb{C}\quad;\quad\alpha\in \mathbb{C}\ .\end{equation}
De hecho, como \(\mathbb{C}\) es de dimenión 1, las aplicaciones \(\mathbb{C}\)-lineales son de la forma
\begin{equation} T(z) = \alpha \cdot z\qquad \alpha\in\mathbb{C} \end{equation}
Fijémonos en que ahora, a diferencia del caso anterior, la imagen para \(T\) de \(z\) no puede depender del conjugado de \(z\). Por lo tanto
\begin{equation} \mathbb{C} \text{–lineal }\qquad \Rightarrow\qquad\mathbb{R}\text{–lineal}\ .\end{equation}
Ahora bien, el recíproco sí que funciona, lo cual podemos demostrar viendo que las aplicaciones \(\mathbb{C}\)–lineales tienen una representación matricial cuando las pensamos como aplicaciones en \(\mathbb{R}^2\). Es decir, si \(\alpha = a+ib\) y \(z = x+iy\), entonces
\begin{equation} \displaystyle T(z) = \alpha \cdot z = (a\ b – b\ y) + i \ (b\ x+a\ y) \end{equation}
\begin{equation} = \left(\begin{array}{ccc}
a&-b\\b&a
\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
x\\y
\end{array}\right)\end{equation}
Por lo tanto,
\begin{equation} \mathbb{R} \text{–lineal }\qquad \text{not} \Rightarrow\qquad\mathbb{C}\text{–lineal}\ .\end{equation}
En resumen, podemos decir que:
Proposición: Una aplicación \(\mathbb{R}\)-lineal \(T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) cuya matriz es
\begin{equation} \left(\begin{array}{c}
a\ x + b\ y\\ c\ x+d\ y
\end{array}\right) \end{equation}
será también \(\mathbb{C}\)–lineal si, y sólo si
\begin{equation}
a=d\qquad \wedge\qquad c= -b
\end{equation}
Funciones derivables en sentido complejo
Hasta ahora en nuestro curso de variable compleja hemos visto que las funciones de variable compleja heredan las propiedades de funciones de \(\mathbb{R}^2\). La cosa se vuelve interesante cuando estudiamos diferenciabilidad en \(\mathbb{C}\). Recordemos primero que cuando teníamos funciones escalares de variable real como \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), decíamos que \(f\) era derivable en \(x_0\) si existía el siguiente límite:
\begin{equation} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{equation}
Cuando existe, denotábamos este límite por \(f'(x_0)\) o \(\left.\frac{\text{d} f}{\text{d} x}\right|_{x=x_0}\). Lamentablemente, como en \(\mathbb{R}^2\) no tiene sentido la división, la definición de derivada era algo más delicada. Concretamente, decimos que una función de dos variables reales es diferenciable en \(x_0\in\mathbb{R}^2\) si existe una función lineal \(T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) tal que
\begin{equation} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) -f(x_0) – T (x-x_0)}{||x-x_0||} = 0 \end{equation}
Recordemos también que si \(f\) es diferenciable en \(x_0\), entonces existen las derivadas parciales \(\frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y},\ \frac{\partial v}{\partial x},\ \frac{\partial v}{\partial y}\) y entonces \(T\) es simplemente:
\begin{equation} T=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{array}\right) \end{equation}
Vale la pena recordar también que cuando las derivadas parciales existen en un entorno de \(x_0\) y son continuas en \(x_0\) entonces un teorema nos asegura que \(f\) es diferenciable.
Ahora bien, en \(\mathbb{C}\) sí que tiene sentido la división, por lo que, aparte de la noción heredada de diferenciabiliad de \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}^2\), podemos definir derivada de funciones de variable compleja de manera similar a como definimos la derivada para funciones escalares de variable real:
Definición: Dada una función de variable compleja \(f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}\), diremos que existe la derivada en \(z_0\) en sentido complejo si existe el límite
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) }{z-z_0} =: f'(z_0)\end{equation}
Dado un subconjunto \(\Omega\subset \mathbb{C}\) abierto, diremos que la función de variable compleja \(f:\Omega\to\mathbb{C}\) es holomorfa en \(\Omega\) si es derivable en sentido complejo en todo \( z_0\in\Omega\), y lo denotaremos por \(f\in \mathbb{H}(\Omega)\).
Entenderás que tiene sentido preguntarse ahora cuál es la relación entre diferenciabilidad como función de dos variables reales y derivabilidad en sentido complejo. Es lo que veremos a continuación.
Relación entre diferenciabilidad y derivabilidad en sentido complejo.
Ecuaciones de Cauchy Riemann.
Proposición: Si \(f:\Omega\to\mathbb{C}\) admite derivada en sentido complejo en \(z_0=x_0 + i y_0\), entonces \(\tilde f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) es diferenciable como función del plano real en \(z_0 = (x_0,y_0)\).
Demostración:
Si \(f\) admite derivada en sentido complejo, entonces sabemos que:
\begin{equation} f'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\end{equation}
existe. Concretamente, existe \(\alpha = a + b i\in \mathbb{C}\) tal que \(f'(z_0) = \alpha\) y entonces
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) – \alpha \cdot (z-z_0)}{z-z_0}\ .\end{equation}
Ahora bien, como vimos en un apartado anterior de este curso de variable compleja, cuando estudiábamos funciones reales en \(\mathbb{C}\) y en \(\mathbb{R}^2\), esto quiere decir que podemos entender la multiplicación por \(\alpha \) como una cierta aplicación \(\mathbb{C}\)–lineal. Entonces, existirá una aplicación \(\mathbb{R}\)– lineal asociada a \(\alpha\), que denotamos por \(T\):
\begin{equation} \lim_{z\to z_0 } \frac{{f}(z_0)-{f}(z_0) – T|_{z_0} (z-z_0)}{||z-z_0||}\ \end{equation}
que me indica que \({f}\) es diferenciable en \(x_0\). Como vimos, la forma de \(T\) será:
\begin{equation} T = \left(\begin{array}{cc}
a&-b\\ b& a
\end{array}\right)\end{equation}
De hecho, fijémonos que \(T\) es la diferencial de \(f\) en \(z_0\) ▢
Ahora hemos visto que derivable en sentido complejo es también derivable como función de \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}^2\). Miremos a ver cuándo el recíproco es cierto:
Proposición. Sea \({f}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) una función diferenciable en \(z_0 = (x_0,x_0)\). Si la diferencial de \({f}\) en \(z_0 = (x_0,y_0)\), que denotamos por \(\text{d} f_{z_0}\) es una función \(\mathbb{C}\)– lineal, entonces \(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \) es diferenciable en sentido complejo.
Demostración. Efectivamente, si la diferencial (que es lo que anteriormente veníamos denotando por \(T\)) es \(\mathbb{C}\)–lineal, entonces
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) – T(z-z_0)}{||z-z_0||} = 0\end{equation}
Como \(T\) es \(\mathbb{C}\)–lineal, tendremos que existe un número complejo \(\alpha\in\mathbb{C}\) tal que
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) – \alpha \cdot (z-z_0)}{|z-z_0|} = 0\end{equation}
y por lo tanto llegamos a que \(f\) es derivable en \(z_0\) en sentido complejo:
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) }{(z-z_0)} = \alpha\end {equation}
▢
De las dos proposiciones anteriores, se llega a un punto crucial de la teoría de las funciones de variable compleja:
Proposición. Consideremos
\begin{equation}
\begin{array}{rccc}
f:&\mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ &z = x+i\ y& \mapsto & u(x,y) + i u(x,y)
\end{array}
\end{equation}
Sea \(z_0 = x_0+i y_0 = (x_0,y_0)\in\mathbb{C}\) un punto del plano complejo. Entonces, \(f\) es diferenciable en sentido complejo en \(z_0\) si, y sólo si, \(f\) es diferenciable en \((x_0,y_0)\) como función de \(\mathbb{R}^2\) y su diferencial en dicho punto \(\text{d} \tilde f_{z_0}\) es una función \(\mathbb{C}\)–lineal. En particular,
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad ,\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = – \frac{\partial v}{\partial x}
\end{equation}
que son las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann.
Definición. Sea \(\Omega \in \mathbb{C}\) un abierto del plano complejo. Diremos que una función \(f:\Omega\to \mathbb{C}\) es holomorfa en \(\Omega\) si \(f\) es derivable en sentido complejo en cada punto \(z_0\in \Omega\). Denotaremos por \(\mathbb{H}(\Omega)\) al conjunto de funciones holomorfas en \(\Omega\).
Operadores \(\partial_z\) y \(\partial_{\overline{z}}\) en variable compleja
Un tema importante que discutiremos ahora en nuestro curso de variable compleja es la relación entre los operadores del plano real y los análogos que definimos en el plano complejo.
La relación entre las variables \(x\) e \( y\) y las variables \(z\) y \(\overline z\)
\begin{equation} \label{eq:relation_z_zc}
\begin{array}{l}
z=x+ iy \\ \overline{z} = x – iy
\end{array}\qquad \Rightarrow \qquad \begin{array}{l}
\displaystyle x = \frac{z+\overline{z}}{2} \\
\displaystyle y = \frac{z-\overline{z}}{2i}
\end{array}
\end{equation}
se pueden pensar como un cambio de coordenadas:
\begin{equation}
f(x,y)\qquad \mapsto\qquad f(z,\overline{z})
\end{equation}
De esta forma, podemos encontrar las derivadas parciales respecto \(z\) y \(\overline{z}\) teniendo \eqref{eq:relation_z_zc} en cuenta:
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial z} &=& \frac{\partial x}{\partial z}\ \frac{\partial }{\partial x}\ + \ \frac{\partial y }{\partial z} \frac{\partial}{\partial y} \nonumber \
&=& \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x} \ + \frac{1}{2i}\cdot \frac{\partial}{\partial y}
\end{eqnarray}
De la misma forma podemos obtener
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x} \ – \frac{1}{2i}\cdot \frac{\partial}{\partial y}
\end{equation}
Una observación importante es que, si aplicamos \(\partial/{\partial \overline{z}}\) a una función de variable compleja \(f(z,\overline{z}) = u(x,y) + i v(x,y)\), obtenemos
\begin{equation}\label{eq:partialzc}
\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{i}{2} \left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} \right)
\end{equation}
La expresión que acabamos de escribir es cero si, y sólo si, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (para darse cuenta de ello sólo hay que igualar a cero las parte real e imaginaria de \eqref{eq:partialzc}). En conclusión, las condiciones de Cauchy-Riemann en las variables \(z\) y \(\overline{z}\) son simplemente:
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0
\end{equation}
Lo que esta ecuación nos está diciendo es que las funciones holomorfas son aquellas que dependen únicamente de \(z\) cuando las ponemos en estas nuevas variables, y no de su conjugado.
Por otro lado, como no podía ser de otra manera, cuando \(f\) es derivable en sentido complejo en un punto \(z=z_0\) se cumple:
\begin{equation}
f'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \left.\frac{\partial f}{\partial z} \right|_{z=z_0}
\end{equation}
Esto se puede comprobar, por ejemplo, tomando los límites iterados en la definición de derivada en sentido complejo:
\begin{eqnarray}
f'(z_0) &=& \lim_{y\to y_0} \frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{i (y-y_0)} = \frac{\partial v}{\partial y} – i \frac{\partial u}{\partial y} \nonumber\\[2mm]
f'(z_0) &=& \lim_{x\to x_0} \frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{(x-x_0)} = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \nonumber
\end{eqnarray}
y ahora, al sumar las dos contribuciones y aislar \(f'(z_0)\), se obtiene:
\begin{equation}
f'(z_0) = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial{u}}{\partial x} + \frac{1}{i} \frac{\partial u}{\partial y}\right) + \frac{1}{2}\ i\ \left(\frac{\partial{v}}{\partial x} + \frac{1}{i} \frac{\partial v}{\partial y}\right)=
\frac{\partial f}{\partial z}
\end{equation}
Ecuaciones de Cauchy–Riemann en coordenadas polares
De la misma manera, si consideráramos el plano complejo en coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendrían la siguiente expresión:
\begin{equation}\partial_r u\ =\ \frac{1}{r}\partial_\theta v\ ,\qquad \partial_r v \ =\ -\frac{1}{r}\partial_\theta u \end{equation}
Funciones holomorfas y funciones armónicas
En este apartado de nuestro curso de variable compleja te voy a enseñar la relación que existe entre las funciones holomorfas y las funciones armónicas (aquéllas cuyo laplaciano se anula, como ahora te recordaré). Son las siguientes. Imagina que tienes una función \(f(z) = u(x,y) + i v(x,y)\) que es holomorfa y tal que \(u\) y \(v\) admiten derivadas segundas. Esto no es una hipótesis muy restrictiva porque, como veremos más adelante, si $f$ es holomorfa es automáticamente \(\mathcal{C}^\infty(\mathbb{C}))\)). Si derivamos dos veces las ecuaciones de Cauchy-Riemann obtenemos que
\begin{equation}\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2} =\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}\\
\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial y^2} =-\frac{\partial^2u}{\partial x \partial y}\\
\end{array} \end{equation} \begin{equation} \qquad \Rightarrow\qquad \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = \Delta u = 0
\end{equation}
y también
\begin{equation}\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2v}{\partial y^2} \\
\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = -\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\ \end{array} \end{equation} \begin{equation} \qquad \Rightarrow\qquad \frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} = \Delta v = 0
\end{equation}
La conclusión de todo esto es que las partes real e imaginaria de las funciones holomorfas son funciones armónicas (su laplaciano es cero, \(\Delta u = \Delta v = 0\)).
¿Te está encantando este curso de variable compleja, verdad? ¡y con apuntes en pdf y todo! Pues prepárate porque todavía no conoces todo su potencial. El siguiente paso que tienes que descubrir es cuándo y cómo podemos escribir funciones de variable compleja en forma de serie de potencias.
Series de potencias y funciones analíticas
Series de potencias en variable compleja
Una serie de números complejos es un objeto con la siguiente forma
\begin{equation}\label{eq:seriepotenciascomplejas}
S(z)=\sum_{n=0}^\infty \, c_n(z-z_0)^n \end{equation} \begin{equation} \text{con }c_n,\, z,\, z_0\ \in \mathbb{C}\,.
\end{equation}
Más adelante, consideraremos sumatorios con potencias de \((z-z_0)^n\) en la que la \(n\) podrá ser negativa. Considera ahora el conjunto
\begin{equation}
\mathbf{S}=\left\{r\in\mathbb{R},\, r>0,\ \Big| \ \sum_{n=0}^{\infty} |c_n| r^n<\infty\right\}\,.
\end{equation}
Llamaremos radio de convergencia a su supremo, que denotaremos por \(R\) (Si \(\mathbf{S}\) es el conjunto vacío, \(R=0\); mientras que si no está acotado, \(R=\infty\)). Se calcula mediante
\begin{eqnarray}\label{eq:limite_sup_R}
\frac{1}{R}= \overline{\lim_{n\to\infty}} |c_n|^{\frac{1}{n}}\,.
\end{eqnarray}
Cuando el límite anterior existe, el valor de \(R\) coincide con
\begin{equation}
R=\lim_{n\to\infty} \frac{|c_n|}{|c_{n+1}|}\,.
\end{equation}
También diremos que \(S(z)\) converge absolutamente en \(\mathbf{S}\).
Lema. Dada una serie de potencias \begin{equation}
S(z)=\sum_{n=0}^\infty \, c_n(z-z_0)^n \\ \text{con }c_n,\, z,\, z_0\ \in \mathbb{C}\,.
\end{equation} si existe dos números \(r_0,\, M\,\in \mathbb{R}\) tales que \(|c_n|r_0^n\leq M\) para todo \(n\), entonces para cada \(r\in\mathbb{R}\), \(r<r_0\) la serie anterior converge absoluta y uniformemente en \(|z-a|\leq r\),
Demostración. Simplemente, observamos que:
\begin{equation}
\begin{aligned}
|c_n(z-a)^n|\leq |c_n|\,, r^n\leq |c_n| r_0^n \left(\frac{r}{r_0}\right)^n\\ \leq M\left(\frac{r}{r_0}\right)^n\,,
\end{aligned}
\end{equation}
Dado que \(r/r_0<1\), y sabemos que \(\sum \xi^n\) converge uniformemente si \(\xi <1\), la serie \(S(z)\) también lo hará.
Estarás conmigo en que podemos concluir que:
Teorema. Sea \(S(z)\) una serie con radio de convergencia \(R\). Entonces:
- Para cada \(r<R\), la serie converge absoluta y uniformemente en el disco \(|z-a|<r\).
- Si \(|z-a|>R\) la serie no converge en ese punto.
Funciones analíticas en variable compleja
Definición. Sea \(\Omega\subset\mathbb{C}\) un abierto. Diremos que una función \(f:\Omega\longrightarrow \mathbb{C}\) es analítica si localmente es la suma de una serie de potencias. Es decir, para todo \(z_0\in \Omega\) existe \(R\in\mathbb{R}\) tal que para todo \(z\in D(z_0,R)\)
\begin{eqnarray}
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n
\end{eqnarray}
Seguro que te estás preguntando, ¿cuál es la relación entre las funciones analíticas y las funciones holomorfas? Pues bien:
Teorema. Si una función es analítica en un abierto \(\Omega\), entonces también es holomorfa en \(\Omega\).
Demostración. Consideremos una función definida por \(f(z) = \sum_{n\geq 0} a_n (z-a)^n\) ya que estas dos funciones sólo se diferencian por una traslación respecto al origen de coordenadas. Para demostrar que \(f\) es holomorfa, hemos de comprobar que existe la derivada en sentido complejo. Además, veremos que
\begin{equation}
f'(z) = \sum_{z\geq 1} n\, a_n\, z^{n-1}
\end{equation}
En primer lugar, definimos \(g(z) = \sum_{z\geq 1} n\, a_n\, z^{n-1}\) y veamos que \( g\) que tiene el mismo radio de convergencia que la serie inicial \( \sum_{z\geq 0} a_n\, z^{n}\). Efectivamente,
\begin{equation}
\overline{\lim_n} \, \sqrt[n]{n}\cdot \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|a_n|}
\end{equation}
ya que el límite de \(\overline{\lim_n} \sqrt[n]{n} = 1 \)
Veamos por tanto que \(g(z) = f'(z)\). Tendremos que acudir a la definicón de derivada:
\begin{equation}
\forall \epsilon>0\ \, \exists\delta >0 \,\mbox{ tal que } |z-\omega|<\delta\ \Rightarrow\ \left|\frac{f(\omega)-f(z)}{\omega-z} – g(z)\right|<\epsilon .
\end{equation}
Como sólo queremos comprobar esto dentro del radio de convergencia, nos limitaremos a valores de \(z\) y \(\omega\) tales que \(|z|,\, |\omega|<R\). Para acabar la demostración será útil definir
\begin{equation}
\begin{aligned}
S_N(\alpha) &= \sum_{n=0}^{N} a_n z^n \quad \left(\, \Rightarrow\ S_N'(\alpha) = \sum_{n=0}^{N}n\, a_n\, z^{n-1}\right)\\
R_N(\alpha) &= \sum_{n>N} a_n z^n \,.
\end{aligned}
\end{equation}
Fíjate en que \(f(\alpha) = S_N(\alpha) + R_N(\alpha)\). Ahora podemos escribir:
\begin{equation}\begin{aligned}
&\left|\frac{f(\omega)-f(z)}{\omega-z} – g(z)\right| \leq\\[2mm]
&\leq \left|\frac{S_N(\omega)-S_N(z)}{\omega-z} – S_N'(z)\right|\, +\, \left|S_N'(z) – g(z)\right| \, +\, \left|\frac{R_N(\omega)-R_N(z)}{\omega-z}\right| \leq \epsilon
\end{aligned}
\end{equation}
Queremos ver que para cada $\epsilon$, podemos encontrar un $\delta$ tal que la desigualdad se satisface y la distancia entre $\omega$ y $z$ es menor que $\delta$, es decir $|\omega – z| < \delta$. Para ello veamos que cada uno de los tres términos de la expresión anterior se pueden acotar por $\epsilon / 3$:
👉 El primer término es fácil de acotar. La razón es que es simplemente un polinomio, que sabemos que es diferenciable.
El primer término es fácil de acotar. La razón es que es simplemente un polinomio, que sabemos que es diferenciable. Por lo tanto, sabemos que dado $\epsilon/3 > 0$ existe un $\delta>0$ tal que \begin{equation} \left|\frac{S_N(\omega)-S_N(z)}{\omega-z} – S_N'(z)\right| <\frac{\epsilon}{3} \end{equation} con $|\omega-z|>\delta$. No será tan sencillo con los dos siguientes términos 🙂
👉 Consideramos ahora el segundo término y queremos acotarlo de nuevo por $\epsilon/3$. Fíjate en que \begin{equation} \left|S_N'(z) – g(z)\right| = \left|\sum_{n>N} n a_n z^{n-1}\right| \, < \, \frac{\epsilon}{3}. \end{equation} Como $S_N'(z)$ converge uniformemente a $g(z)$, sabemos que para todo $\epsilon/3 >0$ existe un $N_1$ entero tal que para todo $ N>N_1$ \begin{equation} \left|\sum_{n>N} n a_n z^{n-1}\right|\, <\, \frac{\epsilon}{3}. \end{equation} En este caso no hace falta decir nada en referencia a la distancia entre $\delta$ y $\omega$ ya que este segundo término no depende de $\omega$.
👉 Por último, consideremos el último término, que es un poco más delicado. Pero si te lo miras con cariño verás que es muy fácil de entender. En primer lugar, hagamos alguna manipulación:
\begin{equation}\begin{aligned}
&\left|\frac{R_N(\omega)-R_N(z)}{\omega-z}\right|\\[2mm] &=\left|\frac{1}{\omega-z}\, \sum_{n>N} a_n \omega^n \, – \sum_{n>N} a_n z^n \right| = \left|\sum_{n>N}\, a_n\, \frac{\omega^n -z^n}{\omega-z} \right|=\\[2mm]
&= \left|\sum_{n>N}\, a_n\, \left(\omega^{n-1} \, +\, z \omega^{n-2}\, + \cdots+\, z^{n-2}\omega \, + \, z^{n-1}\right)\right|\leq\\[2mm]
&\leq\sum_{n>N} |a_n| \left|\omega^{n-1} \, +\, z \omega^{n-2}\, + \cdots+\, + \, z^{n-1}\right|\, \leq\, \sum_{n>N} \, n\, a_n\, r^{n-1}\,
\end{aligned}
\end{equation}
donde $|\omega|,\, |z| <r<R$ y $R$ es el radio de convergencia. Como la convergencia de $g$ es uniforme en esta región ($\forall |z| < R$), dado $\epsilon/3<0$ existe un número natural $N_2$ tal que para todo $N\geq N_2$ se tiene
\begin{equation}
\left|\frac{R_N(\omega)-R_N(z)}{\omega-z}\right| \, \leq\, \sum_{n>N} \, n\, a_n\, r^{n-1}\, \leq\, \frac{\epsilon}{3}.
\end{equation}
Finalmente, ahora que hemos sido capaces de acotar cada uno de los términos anteriores por $\epsilon/3$, podemos concluir que
\begin{equation}
\forall \epsilon > 0,\qquad \exists\delta>0
\end{equation}
y tomando $|\omega-z|<\delta$, también $\exists N_0 = \max\{N_1,N_2\}$ tal que $\forall N\geq N_0$ la suma de los tres términos anteriores es menor que $\epsilon$ y por lo tanto
\begin{equation}
|\omega-z|<\delta \quad\Rightarrow\quad \left|\, \frac{f(\omega)-f(z)}{\omega-z} – g(z)\, \right| < \epsilon.
\end{equation}
Acabamos de ver que las funciones analíticas son holomorfas. Además, podemos concluir iterando el proceso de la demostración anterior que si una función es analítica en $\Omega$, entonces $f\in \mathcal{C}^\infty(\Omega)$, es decir, es derivable infinitas veces. De hecho, las derivadas de la función
\begin{equation}
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\, (z-a)^n
\end{equation}
serán $f^{(k)} = k! a_k$, de manera que las funciones analíticas se pueden escribir como:
\begin{equation}
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\, (z-a)^n
\end{equation}
(evidentemente, esto te recuerda mucho a las expansiones en series de Taylor de funciones de variable real).
Un último comentario. En este apartado, te he demostrado que las funciones analíticas son holomormas. Ahora bien, el recíproco también es cierto, es decir: todas las funciones holomorfas son analíticas. Esto lo veremos más adelante en este curso de variable compleja, ya que la demostración involucra el teorema integral de Cauchy y requiere que sepas integrar, que es lo que te voy a enseñar a continuación.
Próximamente…
¡Ya veis que estamos a tope con este curso! Mi idea es irlo completando a lo largo de este año. Aquí tenéis un avance de lo que está por venir, a modo de resumen 🙂
Singularidades aisladas
Veremos que hay funciones holomorfas que lo son excepto en un conjunto “aislado” de puntos, es decir:
Definición. Diremos que que una función \(f\) de variable compleja tiene una singularidad aislada en un punto \(z_0\) del abierto \(\Omega\subset \mathbb{C}\) si
\(f\in\mathbb{H} \left(\Omega
\setminus {z_0} \right)\)
En torno a singularidades aisladas, las funciones holomorfas admiten un \textbf{desarrollo de Laurent}:
\begin{equation} f(z) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \ a_k (z-z_0)^k \end{equation}
Al coeficiente \(a_{-1}\) de la serie anterior lo llamaremos residuo de \(f\) en \(z_0\), y lo denotaremos por \(\text{Res}(f,z_0)\). Hay tres tipos de singularidades aisadas:
👉 Singularidad evitable: es tal que, aunque la función no está definida en \(z_0\), el límite de la función obtenido al acercarnos a dicho punto existe y no es infinito:
\begin{equation}\lim_{z\to z_0} f(z) = \omega\in \mathbb{C}\end{equation}
En este caso, todos los coeficientes con índice negativo de la serie se anulan (\(a_k = 0\) para todo \(k<0\)).
👉 Polo de orden \(n\), donde \(n\) es un entero positivo. En este segundo caso de singularidad aislada, la función tiende a infinito, pero existe un cierto número entero positivo tal que el siguiente límite:
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^n f(z) \ =\ \omega\in \mathbb{C}\setminus{0}.\end{equation}
Es decir, existe y no es ni cero no infinito. En este caso, la serie de Laurent es de la forma:
\begin{eqnarray}
f(z) &=& \sum_{k = -n}^{\infty} a_k (z-z_0 )^k =\\
&=& \frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}\ +\ \frac{a_{-n+1}}{(z-z_0)^{n-1}}\\ &&+\ \cdots \ + \ a_0 \ + \ a_1 (z-z_0) \ + \ \cdots\qquad
\end{eqnarray}
con \(a_{-n}\neq 0\).
👉 Singularidad esencial. Son las singularidades aisladas que no son ni evitables ni polos. Es decir, no existe ningún número entero $n\in\mathds{Z}$ tal que el siguiente límite
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^n f(z) \end{equation}
exista. En particular, la serie de Laurent tiene infinitos coeficientes \(a_{- m} \neq 0\) (donde \(m\) son enteros positivos). Cuando \(n = 1\), decimos que es un polo simple.
Podéis encontrar algunos ejemplos de singularidades aisladas en el siguiente vídeo:
Teorema de los residuos
El teorema de los residuos es uno de los resultados más importantes de este curso de variable compleja, y te permite escribir la integral a lo largo de un camino como suma de los residuos en las singularidades.
Integrales impropias por residuos
Integrales impropias entre \(0\) e \(\infty\) o \(-\infty\) e \(\infty\). Hay varios casos e interviene el famosísimo Lema de Jordan, que ya explicaremos. Aunque los apuntes del curso de variable compleja en pdf los escribiré más adelante, ya tenéis mucha información en una lista de reproducción de YouTube (visítala aquí).
Problemas resueltos
Y ahora, consulta mi colección de ejercicios de variable compleja resueltos. En el link encontrarás los enunciados (también en pdf) y los vídeos de los ejercicios resueltos. ¡Dirsfrútalo!