¡Por fin has encontrado lo que tanto estabas buscando, una web sobre funciones de variable compleja con ejercicios resueltos! MathsUP es todo lo que venías necesitando. Aquí he ordenado los vídeos de mi canal de Youtube (suscríbete ejem!), donde tengo bastante material sobre análisis complejo.
Complex analysis
makes your live simple…
¡Seguro que te servirá! Piensa que los primeros tienen menos calidad, porque casi no sabía ni cómo funcionaba el micro (como comprobarás cuando veas el primero jeje).
Por si te fuera más cómodo, te puedes descargar un pdf con la lista de todos los ejercicios haciendo click en el siguiente botón. ¡Que los disfrutes!
Y sin más dilación, ¡allá que te van!
Aquí encontrarás...
Ejercicio para calentar 🙂
Calcula la siguiente integral compleja:
\(\displaystyle \int_{\partial \mathbb{D}}\ \frac{1}{z}\ \text{d} z \)donde \(\partial \mathbb{D}\) es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen.
Un ejercicio resuelto de funciones con ramificaciones
Considera la siguiente función \(\displaystyle f(z) = \text{Log}(z(1-z))\) tomando la determinación $latex-\pi < \arg(z(1-z))< \pi$
- Encuentra los cortes de ramificaciones de la función \(f\).
- Calcula la discontinuidad en \(z_0=-1\)
Una integral trigonométrica
Calcula la siguiente integral:
\(\displaystyle f(t) = \int_0^{2\pi} \frac{\text{d} \theta}{1+t^2-2t\cos \theta} \)
Ejercicio resuelto: Integral impropia con raíz
¡Cuidado porque este es complicadillo!
Considera la siguiente expresión:
\(\displaystyle I(\beta,t) = \int_0^{\infty} \frac{x^\beta}{x^2(x-t)^2}\ \text{d} x \)
- ¿Para qué valores de \(\beta\) y \(t\) es convergente?
- Calcula \(I(\beta,t)\) para dichos valores.
Integral con singularidad esencial
Calcula la siguiente integral:
\(\displaystyle \int_{\partial\mathbb{D}}\ e^{\frac{1}{z}}\ \text{d} z \)
donde \(\partial\D\) es la circunferencia de radio \(1\) centrada en el origen.
Ejercicio de singularidades y residuos
Estudia las singularidades de las siguientes funciones de variable compleja (en particular, di si son evitables, polos o singularidades esenciales) y calcula el residuo en cada caso.
a) \(\displaystyle \frac{\sin z}{z} \)
b) \(\displaystyle \frac{1}{z^4-16} \)
c) \(\displaystyle \frac{1}{z(1-e^z)}\)
d) \(\displaystyle \cos \frac{1}{z}\)
Integrales impropias usando variable compleja
El cálculo de integrales impropias utilizando análisis complejo es una de las aplicaciones más interesantes del teorema de los residuos de funciones de variable compleja. Aquí te dejo tres ejemplos resueltos.
Calcula las siguientes integrales:
- \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \ \frac{1}{1+x^2}\ \text{d} x\) en 👉 este vídeo
- \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\ \frac{\cos x}{1+x^2}\ \text{d} x\) en 👉 este vídeo
- \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\ \frac{x^3 \sin x}{x^4\ -\ b^4}\ \text{d} x\) en 👉 este vídeo
Otro de ramificaciones con integral compleja trampa
Calcula el dominio de la función \(\displaystyle \quad f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,,x\in \mathbb{C} \) cuando se consideran las siguientes determinaciones del argumento:
- \(\displaystyle \arg(z)\in (0,2\pi)\)
- \(\displaystyle \arg(z)\in (-\pi,\pi)\)
- \(\displaystyle \arg(z)\in (\pi/2, 5\pi/2)\)
- \(\displaystyle \arg(z)\in (-\pi/2,3\pi/2)\)
Por último, calcula el valor de la integral
\(\displaystyle \int_1^\infty \ \frac{\text{d} x}{x\sqrt{x^2-1}} \)
Funciones armónicas en variable compleja y ecuaciones de Cauchy Riemann
Considera la siguiente función de dos variables:
\(u(x,y) = x^2-y^2\)
¿Puede esta función ser la parte real de alguna función holomorfa? \newline En caso afirmativo, encuentra dicha función.
Un ejercicio trampa que tiene de todo 😉
Considera la siguiente función de variable compleja:
$$f(z) = \frac{1}{1-z^{\frac{1}{n}}}\,,\qquad \arg(z)\in (-\pi,\pi)\,.$$
- Discute las singularidades de la función \(f(z)\).
- Encuentra los dos primeros términos de la serie de Laurent de \(f(z)\) en torno a \(z=1\).
- Calcula la integral \(\displaystyle \int_{\partial \mathbb{D}}\, f(z)\, \text{d} z\,,\) donde \(\partial \mathbb{D}\) es el camino correspondiente a la circunferencia centrada en \(1+i\) de radio \(R=6/5\) recorrida en sentido antihorario.
- Si la determinación del argumento tomada fuera \(\arg(z) = (0,2\pi)\), ¿qué podríamos decir del desarrollo de Laurent en torno a $layex z=1$?
Más funciones de variable compleja y ejercicios resueltos
¿Todavía quieres más ejercicios resueltos de funciones de variable compleja? ¡Te recomiendo los directos que hice! (podrás descargarte el enunciado de los ejercicios en la descripción de cada vídeo).
- Directo exclusivo sobre series de Laurent.
- Directo de varios ejercicios resueltos de variable compleja.
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