Series de potencias
Una serie de números complejos es un objeto con la siguiente forma
\begin{equation}\label{eq:seriepotenciascomplejas}
S(z)=\sum_{n=0}^\infty \, c_n(z-z_0)^n \end{equation} \begin{equation} \text{con }c_n,\, z,\, z_0\ \in \mathbb{C}\,.
\end{equation}
Más adelante, consideraremos sumatorios con potencias de \((z-z_0)^n\) en la que la \(n\) podrá ser negativa. Considera ahora el conjunto
\begin{equation}
\mathbf{S}=\left\{r\in\mathbb{R},\, r>0,\ \Big| \ \sum_{n=0}^{\infty} |c_n| r^n<\infty\right\}\,.
\end{equation}
Llamaremos radio de convergencia a su supremo, que denotaremos por \(R\) (Si \(\mathbf{S}\) es el conjunto vacío, \(R=0\); mientras que si no está acotado, \(R=\infty\)). Se calcula mediante
\begin{eqnarray}\label{eq:limite_sup_R}
\frac{1}{R}= \overline{\lim_{n\to\infty}} |c_n|^{\frac{1}{n}}\,.
\end{eqnarray}
Cuando el límite anterior existe, el valor de \(R\) coincide con
\begin{equation}
R=\lim_{n\to\infty} \frac{|c_n|}{|c_{n+1}|}\,.
\end{equation}
También diremos que \(S(z)\) converge absolutamente en \(\mathbf{S}\).
Lema. Dada una serie de potencias \begin{equation}
S(z)=\sum_{n=0}^\infty \, c_n(z-z_0)^n \\ \text{con }c_n,\, z,\, z_0\ \in \mathbb{C}\,.
\end{equation} si existe dos números \(r_0,\, M\,\in \mathbb{R}\) tales que \(|c_n|r_0^n\leq M\) para todo \(n\), entonces para cada \(r\in\mathbb{R}\), \(r<r_0\) la serie anterior converge absoluta y uniformemente en \(|z-a|\leq r\),
Demostración. Simplemente, observamos que:
\begin{equation}
\begin{aligned}
|c_n(z-a)^n|\leq |c_n|\,, r^n\leq |c_n| r_0^n \left(\frac{r}{r_0}\right)^n\\ \leq M\left(\frac{r}{r_0}\right)^n\,,
\end{aligned}
\end{equation}
Dado que \(r/r_0<1\), y sabemos que \(\sum \xi^n\) converge uniformemente si \(\xi <1\), la serie \(S(z)\) también lo hará.
Estarás conmigo en que podemos concluir que:
Teorema. Sea \(S(z)\) una serie con radio de convergencia \(R\). Entonces:
- Para cada \(r<R\), la serie converge absoluta y uniformemente en el disco \(|z-a|<r\).
- Si \(|z-a|>R\) la serie no converge en ese punto.
Definición de función analítica
Definición. Sea \(\Omega\subset\mathbb{C}\) un abierto. Diremos que una función \(f:\Omega\longrightarrow \mathbb{C}\) es analítica si localmente es la suma de una serie de potencias. Es decir, para todo \(z_0\in \Omega\) existe \(R\in\mathbb{R}\) tal que para todo \(z\in D(z_0,R)\)
\begin{eqnarray}
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n
\end{eqnarray}
Dicho esto, estás a punto de descubrir uno de los resultados más importantes de la variable compleja.
Función analítica y holomorfa
Teorema. Si una función es analítica en un abierto \(\Omega\), entonces también es holomorfa en \(\Omega\).
Así de fácil.
Y ahora…