¿Qué es la esfera de Riemann?
¿Qué me dices si te digo que el plano complejo es “casi” una esfera? Así es. Y digo casi porque para que lo sea necesitas añadirle un punto, el punto del infinito. Es decir, La esfera de Riemann consiste en variedad topológica que obtenemos al añadir el punto del infinito al plano complejo. Aquí tienes la explicación más detallada y rigurosa.
Proyección estereográfica de la esfera de Riemann
Como \(\mathbb{R}^2\) no es un compacto, \(\mathbb{C}\) tampoco lo será. Pero como te enseñaré en esta sección, lo que le falta a \(\mathbb{C}\) (y de hecho a \(\mathbb{R}^2\)) para ser un compacto es simplemente un punto, que es el punto del infinito y denotamos por \(\infty\).
Para convencernos de esto, hacemos el proceso llamado proyección estereofráfica, que está dibujado en la siguiente Figura:
La cosa es que definimos una función entre la esfera
\begin{equation}
\text{S}^2= \left\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 : a^2 +b^2+(c-1)^2 =1 \right\}
\end{equation}
y el plano complejo, que es la siguiente
\begin{equation} \displaystyle \begin{array}{rccl}
\chi :& \text{S}^2\setminus {(0,0,1)}&\longrightarrow & \mathbb{C} \\
&(a,b,c) & \mapsto & \frac{a}{2-c} +i\ \frac{b}{2-c}
\end{array} \end{equation}
Esta función es biyeciva entre S\(^2\setminus {(0,0,1)}\) y \(\mathbb{C}^2\). Esto nos dice que lo que le falta a \(\mathbb{C}^2\) para ser un compacto es un punto. En particular, añadiendo el punto del infinito, \(\overline{\mathbb{C}} :=\mathbb{C} \cup{\infty}\), podemos “completar” la función anterior para tener una biyección con la esfera.
\begin{equation} \begin{array}{rccl}
\overline \chi :& \text{S}^2&\longrightarrow & \overline{\mathbb{C}}\\
&(a,b,c) & \mapsto & \frac{a}{2-c} +i\ \frac{b}{2-c}\\
&(0,0,1) & \mapsto & \infty
\end{array} \end{equation}
Entornos del punto del infinito
Los entornos abiertos de \(\infty\) vienen entonces definidos por la imagen por \(\overline\chi\) de los entornos abiertos de \((0,0,1)\) en S\(^2\), esto se representa gráficamente en la Figura de abajo. Por ello, podemos hablar de “entornos del \(\infty\)”, que serían los puntos \(z\in \mathbb{C}\) tales que \(|z|>R\in \mathbb{R}\), donde habitualmente pensamos \(R\) como un número real grande. También nos permite “tomar el límite de \(z\) iendo hacia \(\infty\)”.
\begin{equation} \lim_{z\to\infty} f(z) = \omega \iff \forall \epsilon > 0 , \ \exists R > 0\\ \text{ tal que } |z| > R\ \Rightarrow\ |f(z)-\omega| < \epsilon \end{equation}
o decir que una función tiende a infinito en un punto:
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} f(z) = \infty \iff \forall R > 0 , \ \exists \delta > 0\\ \text{ tal que } |z-z_0| < \delta\ \Rightarrow\ |f(z)| > R \end{equation}
Para l@s experto@s, la construcción que acabamos de hacer es la compactificación de Alexandroff del plano (complejo).
Y ahora…