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Funciones holomorfas, ¿para qué sirve?
Bien, esta pregunta a veces nos ofende a los matemáticos, porque muchas veces nos interesa puramente la belleza de las teorías. Pero es una pregnta importante. Dentro de las funciones de variable compleja, el concepto de función holomorfa sirve para generalizar el concepto de derivada al plano complejo.
Como veremos, dan lugar a propiedades interesantísimas, en particular cuando consideremos sus integrales.
Concepto de funciones holomorfas
Hasta ahora nos hemos familiarizado un poco con el plano complejo y con funciones definidas en él. Vamos a sumergirmos de lleno en lo que nos interesa realmente en este curso de variable compleja, y esto son las propiedades de las funciones holomorfas. El concepto clave de función holomorfa es que son esencialmente “funciones derivables en \(\mathbb{C}\)” (ya veremos en qué sentido), y que tienen nombre propio porque son súperguays y tienen propiedades que flipan a los matemáticos y nos acabarán flipando a tod@s.
Pero antes, para calentar los motores, estudiamos aplicaciones lineales en el plano complejo (nos servirá más adelante).
Aplicaciones lineales en el plano complejo
Entender las aplicaciones lineales en \(\mathbb{C}\) nos servirá para definir la derivada en funciones de variable compleja. Recordemos en primer lugar que \(\mathbb{C}\) lo podemos ver tanto como un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\) de dimensión 2 (es isomorfo a \(\mathbb{R}^2\)), pero también lo podemos pensar como un espacio vectorial de dimensión 1 sobre \(\mathbb{C}\). Teniendo esto en mente, distinguiremos entre:
👉 Aplicaciones \(\mathbb{R}\)-lineales.
Diremos que una aplicación \(T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) es \(\mathbb{R}\)-lineal si es lineal entendiendo \(\mathbb{C}\) como un \(\mathbb{R}\)–espacio vectorial de dimensión 2. En particular,
\begin{equation}\begin{aligned}
T(z+\omega) &= T(z)+T(\omega) \\ T(\lambda z) &= \lambda T(z)
\end{aligned} \\ \forall z,\omega \in \mathbb{C}\quad;\quad\lambda\in \mathbb{R}\ . \end{equation}
Como a estas alturas sabemos un montón de álgebra lineal, podemos afirmar que existirá una matriz que me permitirá escribir \(T(z)\) como
\begin{equation} \begin{aligned}
T(z) &= \left(\begin{array}{ccc}
a&b\\c&d
\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
x \\ y
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}
a\ x + b\\ y\ c\ x+d\ y
\end{array}\right)=\\ &= (a\ x + b\ y) + (c\ x+d\ y) \cdot i = \\
&= \alpha z + \beta \overline z \end{aligned} \end{equation}
donde \(z=x+iy \in\mathbb{C}\), \(a,c,b,d\in \mathbb{R}\) y \(\alpha,\beta\in \mathbb{C}\). La última igualdad, a la que se llega teniendo en cuenta que las partes real (\(x\)) y la parte imaginaria (\(y\)) se pueden expresar en función de \(z\) y de su conjugado (\(\overline z\)), nos indica que \(T\) depende, en principio, tanto de \(z\) como de su conjugado.
👉 Aplicaciones \(\mathbb{C}\)-lineales
De manera análoga, diremos que una aplicación \(T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) es \(\mathbb{C}\)-lineal si es lineal entendiendo \(\mathbb{C}\) como un \(\mathbb{C}\)-espacio vectorial de dimensión 1. En particular,
\begin{equation}
\begin{aligned}
T(z+\omega) &= T(z)+T(\omega) \\
T(\alpha z) &= \alpha T(z)
\end{aligned}\end{equation}
\begin{equation} \forall z,\omega \in \mathbb{C}\quad;\quad\alpha\in \mathbb{C}\ .\end{equation}
De hecho, como \(\mathbb{C}\) es de dimenión 1, las aplicaciones \(\mathbb{C}\)-lineales son de la forma
\begin{equation} T(z) = \alpha \cdot z\qquad \alpha\in\mathbb{C} \end{equation}
Fijémonos en que ahora, a diferencia del caso anterior, la imagen para \(T\) de \(z\) no puede depender del conjugado de \(z\). Por lo tanto
\begin{equation} \mathbb{C} \text{–lineal }\qquad \Rightarrow\qquad\mathbb{R}\text{–lineal}\ .\end{equation}
Ahora bien, el recíproco sí que funciona, lo cual podemos demostrar viendo que las aplicaciones \(\mathbb{C}\)–lineales tienen una representación matricial cuando las pensamos como aplicaciones en \(\mathbb{R}^2\). Es decir, si \(\alpha = a+ib\) y \(z = x+iy\), entonces
\begin{equation} \displaystyle T(z) = \alpha \cdot z = (a\ b – b\ y) + i \ (b\ x+a\ y) \end{equation}
\begin{equation} = \left(\begin{array}{ccc}
a&-b\\b&a
\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
x\\y
\end{array}\right)\end{equation}
Por lo tanto,
\begin{equation} \mathbb{R} \text{–lineal }\qquad \text{not} \Rightarrow\qquad\mathbb{C}\text{–lineal}\ .\end{equation}
En resumen, podemos decir que:
Proposición: Una aplicación \(\mathbb{R}\)-lineal \(T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) cuya matriz es
\begin{equation} \left(\begin{array}{c}
a\ x + b\ y\\ c\ x+d\ y
\end{array}\right) \end{equation}
será también \(\mathbb{C}\)–lineal si, y sólo si
\begin{equation}
a=d\qquad \wedge\qquad c= -b
\end{equation}
Funciones derivables en sentido complejo
Hemos visto que las funciones de variable compleja heredan las propiedades de funciones de \(\mathbb{R}^2\). La cosa se vuelve interesante cuando estudiamos diferenciabilidad en \(\mathbb{C}\). Recordemos primero que cuando teníamos funciones escalares de variable real como \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), decíamos que \(f\) era derivable en \(x_0\) si existía el siguiente límite:
\begin{equation} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{equation}
Cuando existe, denotábamos este límite por \(f'(x_0)\) o \(\left.\frac{\text{d} f}{\text{d} x}\right|_{x=x_0}\). Lamentablemente, como en \(\mathbb{R}^2\) no tiene sentido la división, la definición de derivada era algo más delicada. Concretamente, decimos que una función de dos variables reales es diferenciable en \(x_0\in\mathbb{R}^2\) si existe una función lineal \(T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) tal que
\begin{equation} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) -f(x_0) – T (x-x_0)}{||x-x_0||} = 0 \end{equation}
Recordemos también que si \(f\) es diferenciable en \(x_0\), entonces existen las derivadas parciales \(\frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y},\ \frac{\partial v}{\partial x},\ \frac{\partial v}{\partial y}\) y entonces \(T\) es simplemente:
\begin{equation} T=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{array}\right) \end{equation}
Vale la pena recordar también que cuando las derivadas parciales existen en un entorno de \(x_0\) y son continuas en \(x_0\) entonces un teorema nos asegura que \(f\) es diferenciable.
Ahora bien, en \(\mathbb{C}\) sí que tiene sentido la división, por lo que, aparte de la noción heredada de diferenciabiliad de \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}^2\), podemos definir derivada de funciones de variable compleja de manera similar a como definimos la derivada para funciones escalares de variable real:
Definición de función holomorfa
Definición: Dada una función de variable compleja \(f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}\), diremos que existe la derivada en \(z_0\) en sentido complejo si existe el límite
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0) }{z-z_0} =: f'(z_0)\end{equation}
Dado un subconjunto \(\Omega\subset \mathbb{C}\) abierto, diremos que la función de variable compleja \(f:\Omega\to\mathbb{C}\) es holomorfa en \(\Omega\) si es derivable en sentido complejo en todo \( z_0\in\Omega\), y lo denotaremos por \(f\in \mathbb{H}(\Omega)\).
Entenderás que tiene sentido preguntarse ahora cuál es la relación entre diferenciabilidad como función de dos variables reales y derivabilidad en sentido complejo. Es lo que veremos a continuación.
Y ahora…