Cuando estudiamos funciones de variable compleja, algo muy importante que debemos entender es el concepto de singularidad de una función. Así que vamos a ello. En funciones de variable compleja, básicamente tenemos dos tipos tipos de singularidades:
👉 Cortes de ramificación. Las encontrarás en funciones multivaluadas como el logaritmo complejo o las raíces. Los cortes de ramificación empiezan y acaban en puntos singulares que denominaremos puntos de ramificación. El punto del infinito también puede ser un punto de ramificación.
👉 Singularidades aisaladas. Son aquellas que se dan en un único punto. Se pueden dividir en tres tipos, que estudiamos detalladamente en el siguiente apartado, y son las singularidades evitables, los polos y las singularidades esenciales.
Aquí encontrarás...
Singularidades aisladas de una función de variable compleja
Veremos que hay funciones holomorfas que lo son excepto en un conjunto “aislado” de puntos, es decir:
Definición. Diremos que que una función \(f\) de variable compleja tiene una singularidad aislada en un punto \(z_0\) del abierto \(\Omega\subset \mathbb{C}\) si
\(f\in\mathbb{H} \left(\Omega
\setminus {z_0} \right)\)
En torno a singularidades aisladas, las funciones holomorfas admiten un \textbf{desarrollo de Laurent}:
\begin{equation} f(z) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \ a_k (z-z_0)^k \end{equation}
Al coeficiente \(a_{-1}\) de la serie anterior lo llamaremos residuo de \(f\) en \(z_0\), y lo denotaremos por \(\text{Res}(f,z_0)\). Hay tres tipos de singularidades aisadas:
👉 Singularidad evitable
Una singularidad evitable es tal que, aunque la función no está definida en \(z_0\), el límite de la función obtenido al acercarnos a dicho punto existe y no es infinito:
\begin{equation}\lim_{z\to z_0} f(z) = \omega\in \mathbb{C}\end{equation}
En este caso, todos los coeficientes con índice negativo de la serie se anulan (\(a_k = 0\) para todo \(k<0\)).
👉 Polo de orden \(n\),
El segundo tipo de singularidad aislada es el polo de orden \(n\), donde \(n\) es un entero positivo. En este segundo caso de singularidad aislada, la función tiende a infinito, pero existe un cierto número entero positivo tal que el siguiente límite:
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^n f(z) \ =\ \omega\in \mathbb{C}\setminus{0}.\end{equation}
Es decir, existe y no es ni cero no infinito. En este caso, la serie de Laurent es de la forma:
\begin{eqnarray}
f(z) &=& \sum_{k = -n}^{\infty} a_k (z-z_0 )^k =\\
&=& \frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}\ +\ \frac{a_{-n+1}}{(z-z_0)^{n-1}}\\ &&+\ \cdots \ + \ a_0 \ + \ a_1 (z-z_0) \ + \ \cdots\qquad
\end{eqnarray}
con \(a_{-n}\neq 0\).
👉 Singularidad esencial
El útimo tipo de singularidades de funciones de variable compleja que tenemos son las singularidades esenciales. Son las singularidades aisladas que no son ni evitables ni polos. Es decir, no existe ningún número entero $n\in\mathds{Z}$ tal que el siguiente límite
\begin{equation} \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^n f(z) \end{equation}
exista. En particular, la serie de Laurent tiene infinitos coeficientes \(a_{- m} \neq 0\) (donde \(m\) son enteros positivos). Cuando \(n = 1\), decimos que es un polo simple.
Ejemplos de singularidades esenciales serían \(e^{\frac{1}{z}}\) y \(\cos{\frac{1}{z}}\).
Ejercicios de singularidades resueltos
Podéis encontrar algunos ejemplos de singularidades aisladas en el siguiente vídeo:
Y ahora…