Una vez hemos descubierto el apasionante mundo de los número complejos, fascinados por todo lo que sabemos, nos atrevemos a adentrarnos en el inexplorado mundo de las funciones de variable compleja. Sí, ese mundo al que sólo unos pocos valientes se atreven a acercarse. Empecemos diciendo de qué estamos hablando.
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Teoría de Funciones de Variable compleja
Básicamente, las funciones de variable compleja serán funciones que irán del cuerpo de los complejos (o de un subconjunto de éste, que habitualmente llamaremos \(\Omega\subset\mathbb{C}\)) al cuerpo de los complejos; es decir funciones de la forma
\begin{equation} \begin{array}{rcl}
f:\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ z = x+i\ y& \mapsto & f(z) = u(x,y) + i u(x,y)
\end{array}\end{equation}
Como vemos, debido a que la función está definida de \(\mathbb{C}\) a \(\mathbb{C}\), tanto la variable \(z\) como su imagen por \(f\) (i.e. \(f(z)\)) se descomponen en parte real y parte imaginaria. Esto permite identificar \(f\) con una función \(\tilde f\) que va de \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^2\).
\begin{equation} \begin{array}{rcl}
f: \mathbb{C}& \rightarrow & \mathbb{C} \\
\varphi\left\uparrow\rule{0cm}{.4cm}\right. & & \left\downarrow\rule{0cm}{.4cm}\right.\varphi^{-1}\\
\tilde f:\mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ (x,y) & \mapsto & \left(u(x,y), v(x,y)\right)
\end{array}\end{equation}
Funciones de una variable compleja: notación
La analogía entre funciones de variable compleja y funciones del plano es tan estrecha, que habitualmente omitiremos la \(\sim\) para la función de variable real y pensaremos \(f\) definida en \(\mathbb{C}\) o \(\mathbb{R}^2\) indistintamente. Con ello simplificaremos mucho la notación, ya que escribiremos felizmente
\begin{equation} f(z_0) = f(x_0,y_0) = u(z_0) + i v(z_0) \\ = \left(u(x_0,y_0), v(x_0,y_0)\right)=\cdots \end{equation}
Supongo que se entiende la idea que hay detrás de esto. Este pequeño abuso de notación lo podemos hacer gracias a la ecuación de más arriba. Lo mismo haremos con cualquier punto \(z_0\in \mathbb{C}\), que escribiremos indistintamente como \(z_0 = x_0 + i y_0 = (x_0,y_0)\) en función de si lo estamos pensando como un elemento de \(\mathbb{C}\) o mediante su expresión en coordenadas de \(\mathbb{R}^2\).
Producto de funciones de variable compleja
Las funciones de variable compleja heredan las nociones y propiedades de funciones de \(\mathbb{R}^2\), como por ejemplo la suma de funciones y su continuidad. Ahora bien, mientras que en \(\mathbb{R}^2\) no existe el producto, en \(\mathbb{C}\) sí, por lo que tiene sentido definir el producto de dos funciones: Dadas \(f_1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) y \(f_2 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}\), el producto de dichas funciones será, simplemente, una nueva función definida por:
\begin{array}{rcl}
(f_1\cdot f_2):\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ z& \mapsto & (f_1\cdot f_2)(z) = f_1(z)\cdot f_2(z)
\end{array}
Se puede demostrar fácilmente que si \(f_1\) y \(f_2\) son continuas en un punto \(z_0\in \mathbb{C}\), entonces \(f_1\cdot f_2\) también lo será.
Y ahora…